Решение задач с использованием приёма:
Удвоение медианы.
I группа задач
Пример 1.
Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны 1 и , а медиана, проведённая к третьей, равна 2.                                   Ответ: .
 
Дано: .
           AM – медиана, (СМ=МВ)
           AC=1, AB= .
 
Найти: S_ΔABC
Решение:

1. На продолжении медианы АМ за точку М отложим отрезок, равный АМ.
2. Рассмотрим четырёхугольник ABCD.

1. AM=MD;  CM=MD

(Диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения М пополам). Четырёхугольник ABCD – параллелограмм.

1. Т.к. ABCD – параллелограмм, AC=BD=1.

1. Рассмотрим ΔABD.

AB== ; BD=1; AD=2AM=4     AD²=16   AB²+BD²=16; т.е. AD²=AB²+BD²  => ΔABD – прямоугольный.

1. S_ΔABD=
2. Рассмотрим ΔAMC  и ΔMBD.

AM=MD; CM=MB; AC=BD  => ΔAMC=ΔMBD
=>ΔACB=ΔABD    и    S_ΔABC=S_ΔABD= .      
 
                                                                                 Ответ: . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Пример 2.
      Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны 27 и 29, а медиана проведённая к третьей, равна 26.                Ответ: 270

Решение:

1. Аналогично, удвоим медиану.
2. Рассмотрим ΔDBC: BC=29; DC=27; BD=52

 
SΔ=
         
          SΔ= = =270
                                                                                      Ответ: 270
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Задача. В треугольнике ABC сторона BC равна , и она больше половины стороны AC. Найдите сторону AB, если медиана BM равна 12, а площадь треугольника ∆ABC равна 96.
Дано: ∆ABC;                                   Найти: AB    
            BC=
            BC>1/2AC
            BM=12-медиана
            S_∆ABC=96
Решение:
;  




= )=

=
= =
=
=






1) x²=25       x=5
2) x²=457                если x=5, то 2x=10.      Ответ: 10.
 
 
 
 
 
                                      II группа задач.
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Подготовительные задачи ко II группе задач.
  1.Стороны треугольника равны 11, 13, 12.
     Найдите медиану проведённую к большей стороне.

 
I способ:                              Воспользуемся формулой

= =
= = = =
                                                                              Ответ: 9,5.
II способ:
    Продлим медиану BM и отложим MK=BM, тогда по свойству параллелограмма четырёхугольник ABCK – параллелограмм. (диагонали точкой пересечения делятся пополам BM=MK и AM=MC)  и   =>
BK²+AC²=2(AB²+BC²);
(2x)²+13²=2(11²+12²);
4x²+169=2(121+144);
4x²=2*265-169;
4x²=530-169;
4x²=361;
 x²=361/4;
                                           Ответ: 9,5.
1.Задача.
    Две стороны треугольника равны 20 и 15, а медиана к третьей стороне 12,5. Найдите расстояние от конца этой медианы до стороны 20.
 

Дано:
ΔABC; BC=15; AB=20;(.)MϵAC
CM=MA
BM=12,5
MF AB
Найти:
MF-?
                                                        Решение.

1. «Удваиваем медиану» BM за точку M, тогда ABCD – параллелограмм.
2. Найдём AC (третью сторону ΔABC)

AC²+BD²=2*(BC²+BA²);
AC²=2*(15²+20²)-25²;
AC²=625;
AC=25.

1. Так как AC=25, то MC=MA=12,5
2. Рассмотрим ΔBMA: BM=MA=12,5; ΔBMA – равнобедренный => MF – высота и медиана. BF=FA=1/2AB=10. Рассмотрим ΔBMF (<F=90^o): MB=12,5; BF=10. По теореме Пифагора

MF= =7,5.
Ответ: 7,5.
 
 
 
 
 
Задача уровня С.
 
2.Задача.
    В прямоугольном треугольнике медианы, проведённые к катетам, равны  Найдите длину гипотенузы.   
Дано: ΔABC(<C=90^o)
           (.)KϵAC; (.)MϵBC
           AK=KC; MC=MB;
           AM= ;
           BK= .
Найти: AB – гипотенузу.
Решение.

1. По теореме Пифагора AB²=AC²+BC²;  AB=c, BC=a, AC=b => c²=b²+a².
2. Дополнительные построения: Удвоение медиан AM за точку M и B за точку K.

1. Рассмотрим пар-м ACDB.

AD²+BC²=2(AC²+AB²);
4*52+a²=2*(b²+c²);
4*52=2b²+2c²-a²;
4*52=2b²+2(b²+a²)-a²;
4*52=2b²+2b²+2a²-a²;
4*52=4b²+a².
              б) Рассмотрим парал-м ABCF: аналогично
                  4*73=4a²+b².
              в) Составим и решим систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
4(52+73)=5a²+5b²;
4*125=5*(a²+b²);
4*125=5*c²;
c²=(4*125)/5;
c²=4*25;
c=10.        AB=10.
Ответ: искомая гипотенуза равна 10.
 
 
3.Задача.
        В прямоугольном треугольнике длины медиан острых углов равны
Аналогично предыдущей задаче имеем систему:
 

4*(89+156)=5*(a²+b²);
4*245=5*c²;
c²=(4*245)/5;
c²=4*49;
c=2*7;
c=14.
Гипотенуза треугольника равна 14см, следовательно средняя линия KM=1\2AC=7см.
Ответ: KM=7см.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
III группа задач.
 

 
 
 
 
 
Задача уровня В.
Найдите площадь треугольника, медианы которого равны 12, 15 и 21.
 
                                                     Дано: ΔABC.
                                                       BB₁, CC₁ и AA₁ медианы.

AA₁=21       BB₁=15      CC₁=12
Найти:  S_ΔABC
 
Решение:

1. Рассмотрим ΔBMC: MA₁-медиана, «удвоим» за точку A₁.
2. Рассмотрим Δ DMC:

MD= AA₁=
MC=
DC=

1. S_ΔDMC=

,              если                P=
 

1. SΔA₁MC= SΔDMC=
2. SΔABC=6SΔA₁MC=  кв.ед.

                                                                             Ответ:  кв.ед.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Задача уровня С.
  Медиана AM и биссектриса CD прямоугольного треугольника ABC (<B=90^o) пересекаются в точке О.      Найдите площадь ΔABC, если CO=9; OD=5.
 
Дано: ΔABC (<B=90^o)                      
           AM – медиана;
           CD – биссектриса;
           CO=9
           OD=5
Найти: SΔABC
Решение.

1. Удвоим медиану AM за точку M.
2. Рассмотрим ΔDAO, ΔKCO:    <K=<A как накрест лежащие;

                                                 <DOA=<KOC –вертикальные =>ΔDAO~ΔKCO.
    Пусть AD=x, тогда KC=1,8; BD=0,8x.

1. Рассмотрим ΔDBC: . Квадрат биссектрисы угла треугольника

 

1. Используя 2 свойство биссектрисы:

 
 

1. (1)=> 196=BC*

          196=
          196=
          196=
          196=245-1,6x²
          1,6x²=245-196
          X²= ;                                  
AB=1,8
BC=
= =14

1. SΔ=

                                        Ответ: .
 Задача уровня С.
 
    Медиана AD и высота CE равнобедренного треугольника ABC (AB=BC) пересекаются в точке P. Найдите площадь ΔABC, если CP=5, PE=2.
                                                              Ответ: S_ΔABC=  кв.ед.

 
 
Решение.

1. Аналогично: удвоим медиану. ABCD – параллелограмм.
2. Рассмотрим APE=<CPE (как вертикальные)

                    <EAP=<PDC (как н/л)
                     AB||DC и сек.AD

• ΔAEP~ΔPDC (подобны по двум углам).

1.  

Пусть AE=x, тогда  ;

1. Рассмотрим ΔECB (<C=90^o)

BE=AB-AE=5/2x-x=2,5x-x=1,5x.      Так как AB=CD;  BC=AB; BC=2,5x (так как треугольник  ΔABC- равнобедренный), по т.Пифагора
(1,5x)²+7²=(2,5x)²
2,5x²+49=6,25x²
4x²=49
X²=
X=
 
2,5x=            AB=
 
 

1. S_ΔABC=

                                                          Ответ: S_ΔABC=  кв.ед.